线性代数的秘密：什么是线性相关和线性无关

线性代数里面的线性相关和线性无关究竟是什么？

话不多说，让我们开门见山：

先说线性无关

我先不告诉你们线性无关的定义是啥，首先我们看一下欧几里得空间R中的三维直角坐标系xyz，三个基底矢量(1,0,0),(0,1,0)和(0,0,1)，它们就是所谓的“线性无关”：

这三个基底向量可以写成：

实际上，这三个基底向量张成的空间就是一个三维（正交）空间，这些基底向量处处都张成了直角，注意数形结合的思想去理解它：

为啥它们“线性无关”呢？

1.很明显，一维人少了一个维度，它就不能理解二维人在做什么。二维人少了一个维度，它就不能理解三维人在做什么。

我们三维人正是因为缺少了(0,0,0,1)这个基底向量，所以没办法知道四维空间长什么样子：

四维超正方体在三维空间的投影

然而，我们却可以用数学的方式把这个四维正交空间表述出来，并研究它的性质：

可以看出，e1，e2，e3，e4之间都是互相线性无关的，因为它们代表着不同的维度，缺了谁都不好使，它们都是组成一个空间必不可少的基本因子。

什么是线性相关呢？

我们随便看个矩阵：

这个矩阵，乍一看上去能构成一个斜角坐标系，也就是基底i'=(1,2),j'=(2,4)的斜角坐标系，然而，当你实际去画的时候，发现这“矩阵”实际上只是一维坐标，因为这两个基底向量重合了，只是差了2倍：

所以我们就说i'=(1,2)和j'=(2,4)这俩向量线性相关。再进一步，我们拿个三维空间里面随便两个向量a和b，只要你说：

这两个向量就是共线的，它就是所谓的 “线性相关“。至于这个k是正还是负，是整数还是无理数，都无所谓，因为它们在一条线上。如果它们俩构成一个矩阵，那么自然要降低一个维度，也就是说该矩阵是“不满秩”的。（当然，如果你不理解什么是秩，那也没关系，本文并不打算讲清楚它）

再举一个例子，比如下面这个矩阵，它的三个基矢量分别为(1,2,3),（2,4,6）,(5,6,7),这乍一看上去是一个三维斜角坐标系，构成了一个斜空间,然而(1,2,3)=0.5倍（2,4,6），所以这俩向量线性相关，因而这个“三维斜角坐标系”的真面目只是“二维斜角坐标系”，你知道它是多少吗？